Question

（2012•武漢模擬）已知函數(shù)f（x）=ax+blnx．
（1）當x=2時f（x）取得極小值2-2ln2，求a，b的值；
（2）當b=-1時，若在區(qū)間（0，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，利用當x=2時，f（x）取得極小值2-2ln2，建立方程，即可求得a，b的值；
（2）b=-1時，f（x）=ax-lnx，求導函數(shù)可得f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，若在區(qū)間（0，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，則f（x）=ax-lnx在區(qū)間（0，e]上的最小值＜0，分類討論：①當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，f（x）在區(qū)間（0，e]上遞減，符合題意；②當0＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

時，f（x）_min=f（

1

a

）=1-ln

1

a

=1+lna，可得不成立；③當

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

時，f（x）在（0，e]上為減函數(shù)，由此可得a的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數(shù)可得：f'（x）=a+

b

x

∵當x=2時，f（x）取得極小值2-2ln2，
∴f'（2）=0，f（2）=2-2ln2
∴2a+b=0，2a+bln2=2-2ln2
∴a=1，b=-2
此時f'（x）=1-

2

x

當x∈（0，2）時，f'（x）＜0；當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0
∴當x=2時，f（x）取得極小值
∴a=1，b=-2
（2）b=-1時，f（x）=ax-lnx，求導函數(shù)可得f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

若在區(qū)間（0，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，則f（x）=ax-lnx在區(qū)間（0，e]上的最小值＜0
①當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，f（x）在區(qū)間（0，e]上遞減
  由f（x）_min=f（e）=ae-1＜0得a＜

1

e

，∴a≤0符合題意
②當0＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

時，x∈（0，

1

a

），f'（x）＜0，f（x）遞減；x∈（

1

a

，e），f'（x）＞0，f（x）遞增
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1-ln

1

a

=1+lna
    由lna+1＜0得a＜

1

e

，矛盾
③當

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

時，f（x）在（0，e]上為減函數(shù)，f（x）_min=f（e）=ae-1＜0
∴0＜a＜

1

e

綜上所述，符合條件的a的取值范圍是a＜

1

e

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學思想，解題的關鍵是正確求導，合理分類．