Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且

（1）求證:平面；

（2）若求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）取PA的中點(diǎn)M，連接MD，ME，證明四邊形MDFE是平行四邊形，則，再由直線(xiàn)與平面平行的判定可得面PAD；

（2）過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，則平面ABCD，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HA所在直線(xiàn)為y軸，過(guò)點(diǎn)H且平行于AB的直線(xiàn)為z軸，PH所在直線(xiàn)為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABCD的一個(gè)法向量與的坐標(biāo)，再由兩向量所成角的余弦值可得直線(xiàn)PB與平面ABCD所成角的正弦值.

（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接.

則，.

又，，所以，，

所以四邊形是平行四邊形，所以，

因?yàn)?/span>面，面，所以

（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

在等腰三角形中，，，

因?yàn)?/span>，所以，

解得.

則，所以，所以.

易知平面的一個(gè)法向量為，

所以，

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.