Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x≥1}\\{1-\frac{x}{2}，x＜1}\end{array}\right.$，若F（x）=f[f（x）+1]+m有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，則x₁+x₂的取值范圍是（　�。�

• A． [4-2ln2，+∞）
• B． [1+$\sqrt{e}$，+∞）
• C． [4-2ln2，1+$\sqrt{e}$）
• D． （-∞，1+$\sqrt{e}$）

Answer 1

分析 由題意可知：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），當(dāng)x＜1，f（x）=1-$\frac{x}{2}$＞$\frac{1}{2}$，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，則x₁+x₂=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，設(shè)g（t）=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間，即可求得x₁+x₂的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=lnx≥0，
∴f（x）+1≥1，
∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
當(dāng)x＜1，f（x）=1-$\frac{x}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
f（x）+1＞$\frac{3}{2}$，
f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
綜上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，
則f（x）+1=e^-m，f（x）=e^-m-1，有兩個(gè)根x₁，x₂，（不妨設(shè)x₁＜x₂），
當(dāng)x≥1是，lnx₂=e^-m-1，當(dāng)x＜1時(shí)，1-$\frac{{x}_{1}}{2}$=e^-m-1，
令t=e^-m-1＞$\frac{1}{2}$，則lnx₂=t，x₂=e^t，1-$\frac{{x}_{1}}{2}$=t，x₁=2-2t，
∴x₁+x₂=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，
設(shè)g（t）=e^t+2-2t，t＞$\frac{1}{2}$，
求導(dǎo)g′（t）=e^t-2，令g′（t）=0，解得：t=ln2，
t∈（$\frac{1}{2}$，ln2），g′（t）＜0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減，
t∈（ln2，+∞），g′（t）＞0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=ln2時(shí)，g（t）取最小值，最小值為：g（t）_min=g（ln2）=2+2-2ln2=4-2ln2，
∴g（x）的值域?yàn)閇4-2ln2，+∞），
∴x₁+x₂取值范圍[4-2ln2，+∞），
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．