16.斜率為$\sqrt{2}$的直線過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的右焦點為F交橢圓于A,B兩點,且滿足$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$,則橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

分析 由題意可知::設(shè)l為橢圓的右準線,過A、B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1為垂足,由橢圓的第二定義可知:丨AA1丨=$\frac{丨AF丨}{e}$,丨BB1丨=$\frac{丨BF丨}{e}$,則丨$\overrightarrow{A{A}_{1}}$丨=3$\frac{丨\overrightarrow{BF}丨}{e}$,cos∠BAE=$\frac{丨AE丨}{丨AB丨}$=$\frac{2\frac{丨BF丨}{e}}{4丨BF丨}$=$\frac{1}{2e}$,根據(jù)直線的斜率公式可知:tan∠BAE=kAB=$\sqrt{2}$,即可求得橢圓的離心率.

解答 解:設(shè)l為橢圓的右準線,過A、B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1為垂足,過B作BE⊥AA1于E,
則丨AA1丨=$\frac{丨AF丨}{e}$,丨BB1丨=$\frac{丨BF丨}{e}$,由$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$知,丨$\overrightarrow{A{A}_{1}}$丨=3$\frac{丨\overrightarrow{BF}丨}{e}$,
 cos∠BAE=$\frac{丨AE丨}{丨AB丨}$=$\frac{2\frac{丨BF丨}{e}}{4丨BF丨}$=$\frac{1}{2e}$,
sin∠BAE=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAE}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4{e}^{2}}}$,
那么tan∠BAE=$\frac{sin∠BAE}{cos∠BAE}$=$\frac{\sqrt{1-\frac{1}{4{e}^{2}}}}{\frac{1}{2e}}$=kAB=$\sqrt{2}$,整理得:4e2-1=2,解得:e=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
由0<e<1
∴橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
故答案為:$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

點評 本題考查橢圓的第二定義,考查直線的離心率公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.

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