【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,,左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,點(diǎn),為線段的中點(diǎn).

)求橢圓的方程.

)若過點(diǎn)且斜率不為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),已知直線相交于點(diǎn),試判斷點(diǎn)是否在定直線上?若是,請(qǐng)求出定直線的方程;若不是,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1);(2)點(diǎn)在定直線上.

【解析】

試題分析: (Ⅰ)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,一般方法為待定系數(shù)法,即根據(jù)條件建立關(guān)于的兩個(gè)獨(dú)立條件,再與聯(lián)立方程組,解出的值,(Ⅱ)先根據(jù)特殊直線或橢圓幾何性質(zhì)確定定直線,再根據(jù)條件證明點(diǎn)橫坐標(biāo)為1.由題意設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示點(diǎn)橫坐標(biāo).根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理得兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系(用直線斜率表示),并代入點(diǎn)橫坐標(biāo)表達(dá)式,化簡(jiǎn)可得為定值.

試題解析: (Ⅰ)設(shè)點(diǎn),由題意可知:,即

又因?yàn)闄E圓的離心率,即

聯(lián)立方程①②可得:,則

所以橢圓的方程為

(Ⅱ)方法一:根據(jù)橢圓的對(duì)稱性猜測(cè)點(diǎn)是與軸平行的直線上.

假設(shè)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),直線的方程為,此時(shí)點(diǎn)

則聯(lián)立直線和直線可得點(diǎn)

據(jù)此猜想點(diǎn)在直線上,下面對(duì)猜想給予證明:

設(shè),聯(lián)立方程可得:

由韋達(dá)定理可得, (*)

因?yàn)橹本,,

聯(lián)立兩直線方程得(其中點(diǎn)的橫坐標(biāo))即證:,

,即證

將(*)代入上式可得

此式明顯成立,原命題得證.所以點(diǎn)在定直線上上.

方法二:設(shè),兩兩不等,

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線,所以,

整理得:

三點(diǎn)共線,有:

三點(diǎn)共線,有: ② 將①與②兩式相除得:

,

代入得:

解得(舍去)或,所以點(diǎn)在定直線上.

方法三:顯然軸不垂直,設(shè)的方程為,.

.

設(shè),兩兩不等,

,,

三點(diǎn)共線,有:

三點(diǎn)共線,有:

①與②兩式相除得:

解得(舍去)或,所以點(diǎn)在定直線上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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() 若點(diǎn)的中點(diǎn),求證:平面

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)若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.

)若是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù),是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.

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(Ⅰ)求的解析式并寫出定義域;

(Ⅱ)若,使得對(duì)上恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求證:.

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日期

122

123

124

溫差

11

13

12

發(fā)芽數(shù)(顆)

25

30

26

1)請(qǐng)根據(jù)122日至124日的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;

2)該農(nóng)科所確定的研究方案是:先用上面的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再選取2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).若125日溫差為,發(fā)芽數(shù)16顆,126日溫差為,發(fā)芽數(shù)23顆.由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得的線性回歸方程是否可靠?

注:,

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(1)求橢圓方程;

(2)若斜率為1的直線l交橢圓于CD,且CD為底邊的等腰三角形的頂點(diǎn)為,求的值.

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數(shù)學(xué)

120

118

116

122

124

物理

79

79

77

82

83

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