Question

設(shè)S_n是公差為d的無窮等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則下列說法正確的是

 

．
①若d＜0，則數(shù)列{S_n}有最大項(xiàng)
②若數(shù)列{S_n}有最大項(xiàng)，則d＜0
③若數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N^*，均有S_n＞0
④若對任意n∈N^*，均有S_n＞0，則數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由等差數(shù)列的求和公式可得S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁+

d

2

）n，可看作關(guān)于n的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．

解答： 解：由等差數(shù)列的求和公式可得S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁+

d

2

）n，
選項(xiàng)①，若d＜0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列{S_n}有最大項(xiàng)，故正確；
選項(xiàng)②，若數(shù)列{S_n}有最大項(xiàng)，則對應(yīng)拋物線開口向下，則有d＜0，故正確；
選項(xiàng)③，若對任意n∈N^*，均有S_n＞0，對應(yīng)拋物線開口向上，d＞0，
可得數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列，故正確；
選項(xiàng)④，若數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列，則對應(yīng)拋物線開口向上，
但不一定有任意n∈N^*，均有S_n＞0，故錯(cuò)誤．
故答案為：①②③

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題．