Question

已知當(dāng)a∈R時(shí)，|2x+3|=ax+b恒有實(shí)數(shù)解．求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由方程有解，化為f（x）=丨2x+3丨，g（x）=ax+b兩個(gè)圖象有交點(diǎn)，作圖可得．

解答： 解：記f（x）=丨2x+3丨，g（x）=ax+b，
如下圖：

f（x）的圖象為一個(gè)角，開口向上，
將b看做常數(shù)，g（x）的圖象為過(guò)定點(diǎn)A（0，b）的直線，對(duì)于任意a∈R，
其表示為所有過(guò)點(diǎn)A的直線的集合，
當(dāng)b≥3，該定點(diǎn)在f（x）的圖象上或其內(nèi)，
則任意過(guò)該點(diǎn)的直線都與f（x）的圖象有交點(diǎn)，
即此時(shí)原方程恒有實(shí)數(shù)解；
當(dāng)b＜3，該定點(diǎn)在角外，則恒有a=2時(shí)過(guò)該點(diǎn)的直線與f（x）的圖象的一邊平行，無(wú)交點(diǎn)，即無(wú)實(shí)數(shù)解；
綜上所述，b的取值范圍是[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程的解與函數(shù)交點(diǎn)的關(guān)系，同時(shí)考查了學(xué)生的作圖能力，屬于中檔題．