Question

18．等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且a₁+2a₂=1，a₃²=4a₂a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n+2=3log₂$\frac{1}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，通過解方程組可求得a₁與q，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法可求得數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）由a₃²=4a₂a₆得：a₃²=4a₄²∴q²=$\frac{1}{4}$    即q=$\frac{1}{2}$
又由a₁+2a₂=1得：a₁=$\frac{1}{2}$
∴a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ…（6分）
（2）∵b_n+2=3log₂$\frac{1}{an}$∴b_n+2=3log₂2ⁿ∴b_n=3n-2
∴c_n=（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
∴S_n=1×$\frac{1}{2}$+4×（$\frac{1}{2}$）²+7×（$\frac{1}{2}$）³+…+（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ  …①
$\frac{1}{2}$S_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+4×（$\frac{1}{2}$）³+7×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹…②
①-②得：
$\frac{1}{2}$S_n=1×$\frac{1}{2}$+3（（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ）-（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=1×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{（\f（1}{2}）2•（1-（\frac{1}{2}）n-1），\frac{1}{2}）$-（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{2}$（1-（$\frac{1}{2}$）^n-1）-（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
S_n=1+3-3×（$\frac{1}{2}$）^n-1-（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=4-（$\frac{1}{2}$）ⁿ（6+3n-2）=4-（$\frac{1}{2}$）ⁿ（3n+4）
即：S_n=4-$\frac{3n+4}{2n}$…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的錯位相減法求和，考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．