Question

已知點(diǎn)P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)上的動點(diǎn)，F(xiàn)₁（-c，0）、F₂（c，0）為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，則|OM|的取值范圍是（　�。�

A．（0，c）

B．（0，a）

C．（b，a）

D．（c，a）

Answer 1

分析：利用M是∠F₁PF₂平分線上的一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，判斷OM是三角形F₁F₂N的中位線，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用橢圓的焦半徑公式，轉(zhuǎn)化為用橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍．

解答：解：如圖，延長PF₂，F(xiàn)₁M，交與N點(diǎn)，∵PM是∠F₁PF₂平分線，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁F₂中點(diǎn)，
連接OM，∵O為F₁F₂中點(diǎn)，M為F₁N中點(diǎn)
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

||PN|-|PF₂||=

1

2

||PF₁|-|PF₂||
∵在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）
則|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀-a+ex₀|=|2ex₀|=|x₀|
∵P點(diǎn)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)上，
∴|x₀|∈（0，a]，
又∵當(dāng)|x₀|=a時(shí)，F(xiàn)₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈（0，a）
∴|OM|∈（0，c）．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．