Question

已知a、b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=

x

ax+b

，且f（3）=1，又方程f（x）=x有唯一解．
（I）求f（x）的解析式及方程f（x）=x的解；
（Ⅱ）當(dāng)x_n=f（x_n-1）（n＞1），數(shù)列{

1

xn

}是何數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）將方程f（x）=x進(jìn)行等價(jià)變形，利用根的判別式△═0，解得b=1．再由f（3）=1，解出a=

2

3

，可得
f（x）的解析式，進(jìn)而求出方程f（x）=x的解；
（II）由（I）的解析式，得x_n=f（x_n-1）即xn=

3xn-1

2xn-1+3

，變形整理得

1

xn

-

1

xn-1

=

2

3

（n＞1）．由此可得
{

1

xn

}構(gòu)成公差為

2

3

的等差數(shù)列．

解答：解：（I）∵f（x）=x有唯一解，即

x

ax+b

=x有唯一解
∴有

x=ax2+bx ax+b≠0

，即

ax2+(b-1)x=0 ax+b≠0

滿(mǎn)足△=（b-1）²-4a•0=0，解之得b=1．  …（2分）
又∵f（3）=1，得3=3a+1．
∴a=

2

3

可得f(x)=

3x

2x+3

．…（3分）
由

3x

2x+3

=x，解得方程f（x）=x的解為x=0． …（4分）
（II）由x_n=f（x_n-1）（n＞1），得
xn=

3xn-1

2xn-1+3

，可得

1

xn

=

2xn-1+3

3xn-1

=

2

3

+

1

xn-1

…（6分）
∴

1

xn

-

1

xn-1

=

2

3

（n＞1）．
即當(dāng)n＞1時(shí)，{

1

xn

}構(gòu)成公差為

2

3

的等差數(shù)列．  …（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出分式函數(shù)，在已知f（3）=1且f（x）=x有等根的情況下求函數(shù)的解析式，并證明{

1

xn

}構(gòu)成等差數(shù)列．著重考查了用一元二次方程根的判別式處理分式函數(shù)問(wèn)題和等等差數(shù)列的通項(xiàng)與定義等知識(shí)，屬于中檔題．