【題目】設(shè)點(diǎn)、是平面上左、右兩個不同的定點(diǎn), ,動點(diǎn)滿足:
.
(1)求證:動點(diǎn)的軌跡為橢圓;
(2)拋物線滿足:①頂點(diǎn)在橢圓的中心;②焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合.
設(shè)拋物線與橢圓的一個交點(diǎn)為.問:是否存在正實(shí)數(shù),使得的邊長為連續(xù)自然數(shù).若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)存在實(shí)數(shù),使得的邊長為連續(xù)自然數(shù)。
【解析】試題分析: (1)根據(jù)題意,分兩種情況討論:①點(diǎn)P、F1、F2構(gòu)成三角形,②點(diǎn)P、F1、F2不構(gòu)成三角形,每種情況下分析可得|PF1|+|PF2|=4m,由橢圓的定義分析可得答案;
(2)根據(jù)題意,由(1)可得,動點(diǎn)P的軌跡方程,分析可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)m,結(jié)合橢圓與拋物線的性質(zhì)分析可得m的值,即可得答案.
試題解析
(1)若點(diǎn)構(gòu)成三角形則
,
整理得,即.
若點(diǎn)不構(gòu)成三角形,也滿足.
所以動點(diǎn)的軌跡為橢圓
(2)動點(diǎn)的軌跡方程為
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為與橢圓的右焦點(diǎn)重合.
假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得的邊長為連續(xù)自然數(shù).
因?yàn)?/span>,
不妨設(shè)|,
由拋物線的定義可知,解得,
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,
整理得,解得或
所以存在實(shí)數(shù),使得的邊長為連續(xù)自然數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求曲線在處的切線方程.
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅲ)設(shè),其中,證明:函數(shù)僅有一個零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中, , ,點(diǎn)M是線段AB上的一點(diǎn),且.
(1)證明:平面平面ABCD;
(2)求直線CM與平面PCD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, 為實(shí)數(shù),函數(shù),函數(shù).
(1) 當(dāng)時,令,若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2) 當(dāng)時,令,是否存在實(shí)數(shù),使得對于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù),均存在實(shí)數(shù),有成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值集合;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足, ,其中.
(1)設(shè),求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在正整數(shù),使得對于恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), .
(Ⅰ)若,求的極小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,是否存在實(shí)常數(shù)和,使得和?若存在,求出和的值.若不存在,說明理由;
(Ⅲ)設(shè)有兩個零點(diǎn),且成等差數(shù)列,試探究值的符號.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】要分析學(xué)生初中升學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績對高一年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有什么影響,在高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生,分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績(x)和高一年級期末數(shù)學(xué)考試成績(y)(如下表):
(1)畫出散點(diǎn)圖;
(2)判斷入學(xué)成績(x)與高一期末考試成績(y)是否有線性相關(guān)關(guān)系;
(3)如果x與y具有線性相關(guān)關(guān)系,求出回歸直線方程;
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
x | 63 | 67 | 45 | 88 | 81 | 71 | 52 | 99 | 58 | 76 |
y | 65 | 78 | 52 | 85 | 92 | 89 | 73 | 98 | 56 | 75 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某花店每天以每枝元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花做垃圾處理.
(1)若花店一天購進(jìn)枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:枝, )的函數(shù)解析式.
(2)花店記錄了天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
日需求量 | |||||||
頻數(shù) |
假設(shè)花店在這天內(nèi)每天購進(jìn)枝玫瑰花,求這天的日利潤(單位:元)的平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還升, 升, 升,1斗為10升,則下列判斷正確的是( )
A. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
B. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
C. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
D. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
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