Question

已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（a，0）（a≠0）的距離的比為k的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并判斷曲線的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)所求的曲線上的任意一點(diǎn)P（x，y），根據(jù)此曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（a，0）（a≠0）的距離的比為k的點(diǎn)的軌跡，可得

|PO|

|PA|

=k，

x2+y2

(x-a)2+y2

=k≥0，化為（k²-1）x²-2ak²x+（k²-1）y²+k²a²=0．對(duì)k分類討論即可得出．

解答： 解：設(shè)所求的曲線上的任意一點(diǎn)P（x，y），
∵此曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（a，0）（a≠0）的距離的比為k的點(diǎn)的軌跡，
∴

|PO|

|PA|

=k，
∴

x2+y2

(x-a)2+y2

=k≥0，
化為（k²-1）x²-2ak²x+（k²-1）y²+k²a²=0．（*）
當(dāng)k=0時(shí)，（*）化為

x2+y2

=0，此曲線為原點(diǎn)（0，0）；
當(dāng)k=1時(shí)，（*）化為：x=

a

2

，為線段OA的垂直平分線；
當(dāng)k≠0，1時(shí)，(x-

ak2

k2-1

)2+y²=(

ka

k2-1

)2，
此曲線是以(

ak2

k2-1

，0)為圓心，|

ka

k2-1

|為半徑的圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線軌跡的求解方法及其分類討論的思想方法、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．