Question

如圖，正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點.

（Ⅰ）證明：AD⊥D₁F；

（Ⅱ）求AE與D₁F所成的角；

（Ⅲ）證明：面AED⊥面A₁FD₁；

（Ⅳ）（理）設(shè)AA₁＝2，求三棱錐F—A₁ED₁的體積.

（文）設(shè)AA₁＝2，求三棱錐E—AA₁F的體積.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：AD⊥D1F； （Ⅱ）解：取AB中點G，連A1G、FG，因為F是CD中點，所以CFAD，又A1D1AD，所以GFA1D1，故GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D1F. 設(shè)A1G與AE交于點H，則∠AHA1是AE與D1F所成的角，因E是BB1中點，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A＝∠GAH，從而∠AHA1＝90°，即直線AE與D1F所成角為直角. （Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED，又D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1. （Ⅳ）解：（理）連GE、GD1，因為FG∥A1D，所以FG∥面A1ED1，所以體積， 因為AA1＝2， 所以面積 所以. （文）∵體積 又FG⊥面ABB1A1，三棱錐F—AA1E的高FG＝AA1＝2，