【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+1(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線l垂直于直線y=x,求實(shí)數(shù)a的值及直線l的方程;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若x>1,求證:lnx<x﹣1.

【答案】
(1)解:∵f(x)=lnx﹣ax+1(a∈R),定義域?yàn)椋?,+∞),

∴函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線l的斜率k=f′(1)=1﹣a,

∵切線l垂直于直線y=x,

∴1﹣a=﹣1,∴a=2,

∴f(x)=lnx﹣2x+1,f(1)=﹣1,

∴切點(diǎn)為(1,﹣1),

∴切線l的方程為y+1=﹣(x﹣1),

即x+y=0


(2)解:由(1)知: ,x>0

當(dāng)a≤0時(shí), ,此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞);

當(dāng)a>0時(shí),

,則f′(x)>0;若 ,則f′(x)<0,

此時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是 ,

綜上所述:

當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞);

當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是


(3)解:由(2)知:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=lnx﹣x+1在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

∴x>1時(shí),f(x)<f(1)=ln1﹣1+1=0,

∴x>1時(shí),lnx﹣x+1<0,即lnx<x﹣1


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)切線的斜率求出a的值,從而求出函數(shù)的切點(diǎn),求出切線方程即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(3)由a=1時(shí),f(x)=lnx﹣x+1在(1,+∞)上單調(diào)遞減,得到f(x)<f(1),從而證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù) )是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)求k的值;
(2)若 ,不等式 對(duì) 恒成立,求實(shí)數(shù)t的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知 表示兩條不同的直線, 表示一個(gè)平面,給出下列四個(gè)命題:
;② ;
;④ .
其中正確命題的序號(hào)是( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.①④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知四棱錐 中,底面 是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱 底面 ,且 , 是側(cè)棱 上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求四棱錐 的表面積;
(2)是否在棱 上存在一點(diǎn) ,使得 平面 ;若存在,指出點(diǎn) 的位置,并證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出圖中水平放置的△OAB的直觀圖.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】比較下列各題中兩個(gè)冪的值的大。

(1)2.3,2.4;

(2) , ;

(3)(-0.31) ,0.35.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某圓拱橋的示意圖如圖所示該圓拱的跨度AB36 m,拱高OP6 m,在建造時(shí)每隔3 m需用一個(gè)支柱支撐,求支柱A2P2的長(zhǎng)(精確到0.01 m)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與x軸的非負(fù)半軸重合.曲線 (t為參數(shù)),曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=ρcos2θ+8cosθ. (Ⅰ)將曲線C1 , C2分別化為普通方程、直角坐標(biāo)方程,并說(shuō)明表示什么曲線;
(Ⅱ)設(shè)F(1,0),曲線C1與曲線C2相交于不同的兩點(diǎn)A,B,求|AF|+|BF|的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),若P是圓C與x軸的交點(diǎn),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線為l (Ⅰ)求直線l的極坐標(biāo)方程
(Ⅱ)求圓C上到直線ρ(cosθ+ sinθ)+6=0的距離最大的點(diǎn)的直角坐標(biāo).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案