Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，∠PAC=30°，∠ACB=45°，BC=2 ，PA⊥AB．
（1）求PC的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)M在側(cè)棱PB上，且 ，當(dāng)λ為何值時(shí)，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PC⊥平面ABC，PA⊥AB，∴AB⊥AC，

以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過(guò)A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵PA⊥AB，∴ =0，

∴（ ）（ ）= =0，

∵PC⊥平面ABC，∴ =0， =0，

∴﹣| || |cos∠ACB+| |2=0，

即﹣ ，

解得AC=2，

在Rt 中，PC=ACsin30°=

（2）解：B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，2， ），

∵點(diǎn)M在側(cè)棱PB上，且 ，

∴M（ ， ， ），

設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（﹣ ），

平面ABC的一個(gè)法向量 =（0，0，1），

∵二面角B﹣AC﹣M的大小為30°，

∴cos30°= = = =，

解得λ=1或λ=﹣1（舍），

∴當(dāng)λ=1時(shí)，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°．

【解析】（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過(guò)A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PC．（2）求出平面ACM的一個(gè)法向量和平面ABC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出當(dāng)λ=1時(shí)，二面角B﹣AC﹣M的大小為30°．