Question

16．等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為$\frac{85}{32}$，偶數(shù)項(xiàng)之和為$\frac{21}{16}$，這個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)的積為T(mén)_n（n≥2），則T_n的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)共有2m+1項(xiàng)，由題意可得奇數(shù)項(xiàng)之和以及偶數(shù)項(xiàng)之和，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算得答案．

解答 解：設(shè)共有2m+1項(xiàng)，由題意：
${S}_{奇}={a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{2m+1}=\frac{85}{32}$，${S}_{偶}={a}_{2}+{a}_{4}+…+a2m=\frac{21}{16}$，
S_奇=a₁+a₂q+…+a_2mq=2+q（a₂+a₄+…+a_2m）=$2+\frac{21}{16}q=\frac{85}{32}$，
∴$q=\frac{1}{2}$．
∴T_n=${a}_{1}{•a}_{2}…{a}_{n}={{a}_{1}}^{n}{q}^{1+2+…+n-1}$=${2}^{n}×\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$=${2}^{\frac{3}{2}n-\frac{{n}^{2}}{2}}$，
當(dāng)n=1或2時(shí)，T_n的最大值為2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了求等比數(shù)列前n項(xiàng)的積，是中檔題．