已知數(shù)列的前項和為，且．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)，，求使恒成立的實數(shù)的取值范圍．

 

【答案】

（I）；（Ⅱ） .

【解析】

試題分析：（I）首先由求得.為了求得通項公式，應(yīng)由消去推得 的遞推公式：，即，顯然這是一個等比數(shù)列，由此可得其通項公式.

（Ⅱ）首先將化簡：，顯然用裂項法可求得： .

不等式對任意恒成立，也就是恒成立，所以.

設(shè)，下面就來求其最大值.求數(shù)列的最值，首先研究數(shù)列的單調(diào)性.研究數(shù)列的單調(diào)性，一般考查相鄰兩項的差的符號.，由此可知，時，數(shù)列單調(diào)遞減，時，數(shù)列單調(diào)遞增.所以最大，從而.

試題解析：（I）由可得， 1分

∵， ∴，

∴，即， 3分

∴數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，∴． 5分

（Ⅱ） 7分

∴ 8分

由對任意恒成立，即實數(shù)恒成立；

設(shè)，，

∴當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，時，數(shù)列單調(diào)遞增； 10分

又，∴數(shù)列最大項的值為

∴ 12分

考點：1、等比數(shù)列；2、裂項法求和；3、數(shù)列的單調(diào)性及最值.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本小題滿分14分)

已知數(shù)列的前項和為，若且．

(Ⅰ)求證是等差數(shù)列，并求出的表達(dá)式；

(Ⅱ) 若，求證．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列的前項和為，求這個數(shù)列的通項公式．這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆福建省龍巖市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷（非一級校） 題型：解答題

（本題滿分13分）
已知數(shù)列的前項和為，滿足.
（Ⅰ）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出；
（Ⅱ）設(shè)，求的最大項.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年四川省瀘縣二中高2013屆春期重點班第一學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題 題型：解答題

（本小題14分）已知數(shù)列{}的前項和為，且=（）；=3
且（），
(1)寫出;
(2)求數(shù)列{}，{}的通項公式和；
(3)設(shè)，求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆廣東省高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知數(shù)列的前項和為，且．

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)令，數(shù)列的前項和為，若不等式 對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

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