Question

設(shè)函數(shù)
(1)設(shè),,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn);
(2) 設(shè),若對(duì)任意,有,求的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,設(shè)是在內(nèi)的零點(diǎn),判斷數(shù)列的增減性.

Answer 1

(1) 見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析.

試題分析：(1) 先根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷在在內(nèi)存在零點(diǎn)，在利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，從而說(shuō)明在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（2）此問(wèn)可用兩種解法:第一種，當(dāng)時(shí),，根據(jù)題意判斷出在上最大值與最小值之差，據(jù)此分類討論如下:(ⅰ)當(dāng)；(ⅱ)當(dāng)；(ⅲ)當(dāng),綜上可知,；第二種，用表示中的較大者，直接代入計(jì)算即可；（3）先設(shè)出零點(diǎn)，然后根據(jù)在上是遞增的得出結(jié)論.
試題解析：(1),時(shí), 
∵,∴在內(nèi)存在零點(diǎn). 又當(dāng)時(shí), ,∴ 在上是單調(diào)遞增的,所以在內(nèi)存在唯一零點(diǎn).
(2)當(dāng)時(shí), ，對(duì)任意都有等價(jià)于在上最大值與最小值之差,據(jù)此分類討論如下:(ⅰ)當(dāng),即時(shí), ,與題設(shè)矛盾
(ⅱ)當(dāng),即時(shí), 恒成立
(ⅲ)當(dāng),即時(shí), 恒成立.
綜上可知, 
注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并證明如下:
用表示中的較大者.當(dāng),即時(shí),
  
 恒成立 .
(3)證法一 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn) 
,, 
于是有 
又由(1)知在上是遞增的,故, 所以,數(shù)列是遞增數(shù)列.
證法二 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)
 則的零點(diǎn)在內(nèi),故,
所以,數(shù)列是遞增數(shù)列.