Question

6．以橢圓$C：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的中心O為圓心，以$\sqrt{\frac{ab}{2}}$為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”．已知橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，拋物線x²=8y的準線過此橢圓的一個頂點．
（Ⅰ） 求橢圓C及其“伴隨”的方程；
（Ⅱ）斜率為1的直線m經(jīng)過拋物線x²=8y的焦點F，且與拋物線交于M，N兩點，求線段MN的長度；
（Ⅲ） 過點P（0，m）作“伴隨”的切線l交橢圓C于A，B兩點，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{2}{5}$，求切線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：橢圓C的離心率為e=$\frac{c}{a}$$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即3a²=4c²，則a²=4b²，設橢圓C的方程為$\frac{y^2}{{4{b^2}}}+\frac{x^2}{b^2}=1$，拋物線x²=8y的準線方程為y=-2，它與y軸的交點（0，-2）是橢圓的一個頂點，a=2，b=1，即可求得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）由拋物線x²=8y焦點在（0，2），設直線m的斜率y=x+2，代入拋物線方程，由韋達定理可知：y₃+y₄=12，由拋物線的焦點弦公式可知：|MN|=y₃+y₄+p=16；
（Ⅲ）易知切線l的斜率存在，設切線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，由韋達定理可知：${x_1}+{x_2}=-\frac{2km}{{{k^2}+4}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}$，由直線與圓相切$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，則k²=m²-1求得${y_1}•{y_2}=\frac{4}{{{k^2}+4}}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{2}{5}$，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，即可求得m的值與k的值．求得切線方程．

解答 解：（Ⅰ） 橢圓C的離心率為e=$\frac{c}{a}$$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即3a²=4c²，
由a²=b²+c²，則a²=4b²，
設橢圓C的方程為$\frac{y^2}{{4{b^2}}}+\frac{x^2}{b^2}=1$，…（1分）
拋物線x²=8y的準線方程為y=-2，它與y軸的交點（0，-2）是橢圓的一個頂點，
故a=2，
∴b=1，…（2分）
∴橢圓C的標準方程為$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$，
橢圓C的“伴隨”方程為x²+y²=1．…（3分）
（Ⅱ）由拋物線x²=8y焦點在（0，2），設直線m的斜率y=x+2，則M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$，整理得：y²-12y+4=0，
由韋達定理可知：y₃+y₄=12，x₃+x₄=8，
由拋物線的焦點弦公式可知：|MN|=y₃+y₄+p=16；                      …（6分）
（Ⅲ）  由題意知，|m|≥1．
易知切線l的斜率存在，設切線l的方程為y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{{y_{\;}^2}}{4}+x_{\;}^2=1\end{array}\right.$，得$（k_{\;}^2+4）x_{\;}^2+2{k^{\;}}mx+{m^2}-4=0$…（7分）
設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=-\frac{2km}{{{k^2}+4}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}$．…（8分）
又由l與圓x²+y²=1相切，
∴$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，即k²=m²-1．…（9分）
${y_1}•{y_2}=（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）={k^2}{x_1}•{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$=${k^2}•\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}+km（{-\frac{2km}{{{k^2}+4}}}）+{m^2}=\frac{{4（{m^2}-{k^2}）}}{{{k^2}+4}}$，
又m²-k²=1，
∴${y_1}•{y_2}=\frac{4}{{{k^2}+4}}$
于是${x_1}•{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{m^2}{{{k^2}+4}}$，而$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{2}{5}$
故$\frac{{{k^2}+1}}{{{k^2}+4}}=\frac{2}{5}$，解得k²=1，則k=±1，
∴${m^2}=2，m=±\sqrt{2}$…（11分）
因此，所求切線的方程是$y=x+\sqrt{2}，y=-x+\sqrt{2}$或$y=x-\sqrt{2}，y=-x-\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓及拋物線的位置關系，考查韋達定理，拋物線的焦點弦公式，橢圓的弦長公式，向量數(shù)量積的坐標表示，考查計算能力，屬于中檔題．