Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若在點(diǎn)處的切線與軸平行，且函數(shù)在時(shí)，其圖象上每一點(diǎn)處切線的傾斜角均為銳角，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求得導(dǎo)函數(shù)，題意說明有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，或直線與函數(shù)的有兩個(gè)交點(diǎn)，可用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)（單調(diào)性，極值等），由零點(diǎn)存在定理即可得的范圍；

（2）首先題意說明，，從而有且，其次時(shí)，恒成立，因此的最小值大于0，這可由導(dǎo)數(shù)來研究，從而得出的范圍．

（1）當(dāng)時(shí)，，，

所以有兩個(gè)極值點(diǎn)就是方程有兩個(gè)解，

令，則.

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，則此時(shí)單調(diào)遞增，

又為連續(xù)函數(shù)，由零點(diǎn)存在定理可知：

最多只有一個(gè)零點(diǎn)，也即最多只有一個(gè)解，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，令，解得，

故在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

，

若，即時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知：

此時(shí)，故無解，不符合題意；

若，即時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知：

此時(shí)，只有一個(gè)解，不符合題意；

若，即時(shí)，

又，，（最后進(jìn)行證明）

又，故由零點(diǎn)存在定理可知：

此時(shí)有兩個(gè)根，滿足題意.

綜上．

現(xiàn)證：，

令，故，

故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

故，

即證.

（2）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸平行，

所以且，因?yàn)?/span>，

所以且；

在時(shí)，

其圖象的每一點(diǎn)處的切線的傾斜角均為銳角，

即當(dāng)時(shí)，恒成立，即

，

令，∴

設(shè)，，

因?yàn)?/span>，所以，，∴，

∴在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，

∴，

當(dāng)且時(shí)，，

所以在單調(diào)遞增；

∴成立

當(dāng)，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，

所以，

，

所以存在有；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以有，不恒成立；

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．