由原點O向三次曲線y=x3－3ax2＋b x (a≠0)引切線,切于不同于點O的點，再由P1引此曲線的切線，切于不同于的點,如此繼續(xù)地作下去，……,得到點列{ },試回答下列問題:

(1)求x1;

(2)求x n與x n+1的關系;

(3)若a>0,求證:當n為正偶數(shù)時, x n<a;當n為正奇數(shù)時, x n>a.

答案：
解析：

；x n＋2xn+1－3a=0.

(1)由y=x3－3ax2＋b x,

①

得y′=3x2－6ax＋b.

過曲線①上點P1(x1, y1)的切線l1的方程是

由它過原點,有

(2)過曲線①上點Pn+1(xn+1,yn+1)的切線ln+1的方程是

由ln+1過曲線①上點P n(x n, yn),有

∵x n－xn+1≠0,以x n－xn+1除上式,得

以x n－xn+1除之,得x n＋2xn+1－3a=0.

(3)法1 由(2)得

故數(shù)列{x n－a}是以x 1－a=為首項,公比為－的等比數(shù)列,

∵a>0,∴當n為正偶數(shù)時,

當n為正奇數(shù)時,

解法2

=

=

=……

=

=

=.以下同解法1.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

由原點O向三次曲線y=x3-3ax2（a≠0）引切線，切點為P1（x1，y1）（O，P1兩點不重合），再由P1引此曲線的切線，切于點P2（x2，y2）（P1，P2不重合），如此繼續(xù)下去，得到點列：{Pn（xn，yn）}
（1）求x1；
（2）求xn與xn+1滿足的關系式；
（3）若a＞0，試判斷xn與a的大小關系，并說明理由

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

由原點O向三次曲線y=x3-3ax2+bx（a≠0）引切線，切于不同于點O的點P1（x1，y1），再由P1引此曲線的切線，切于不同于P1的點P2（x2，y2），如此繼續(xù)地作下去，…，得到點列{Pn（xn，yn）}，試回答下列問題：
（1）求x1；
（2）求xn與xn+1的關系；
（3）若a＞0，求證：當n為正偶數(shù)時，xn＜a；當n為正奇數(shù)時，xn＞a．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

由原點O向三次曲線y=x3-3ax2（a≠0）引切線，切點為P1（x1，y1）（O，P1兩點不重合），再由P1引此曲線的切線，切于點P2（x2，y2）（P1，P2不重合），如此繼續(xù)下去，得到點列：{Pn（xn，yn）}
（1）求x1；
（2）求xn與xn+1滿足的關系式；
（3）若a＞0，試判斷xn與a的大小關系，并說明理由

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

由原點O向三次曲線y=x3-3x2引切線,切于異于原點的點P1(x1,y1),再由P1引此曲線的切線,切于異于點P1的點P2(x2,y2),如此繼續(xù)下去,得到點列{Pn(xn,yn)}.

(1)求x1；

(2)求xn與xn+1滿足的關系式；

(3)求數(shù)列{xn}的通項公式.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江西省吉安市白鷺洲中學高三（上）第二次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

由原點O向三次曲線y=x3-3ax2+bx （a≠0）引切線，切于不同于點O的點P1（x1，y1），再由P1引此曲線的切線，切于不同于P1的點P2（x2，y2），如此繼續(xù)地作下去，…，得到點列{ P n（x n，y n）}，試回答下列問題：
（1）求x1；
（2）求xn與xn+1的關系；
（3）若a＞0，求證：當n為正偶數(shù)時，xn＜a；當n為正奇數(shù)時，xn＞a．

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