Question

求函數y=log₂[ax²-（a+1）x+1]的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：復合函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：令t=ax²-（a+1）x+1，則函數y=log₂t，本題即求當t＞0時，函數t的減區(qū)間．再分當a=0、當a＞0時、當a＜0三種情況，分別求得函數t在函數y的定義域內的減區(qū)間．

解答： 解：令t=ax²-（a+1）x+1，則函數y=log₂t，故本題即求當t＞0時，函數t的減區(qū)間．
①當a=0時，函數即y=log₂（1-x），它的減區(qū)間即函數的定義域，為（-∞，1）．
②當a＞0時，t=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1），
若a∈（0，1），則

1

a

＞1，由t＞0求得函數的定義域為（-∞，1）∪（

1

a

，+∞），
由二次函數的性質可得t的減區(qū)間為（-∞，1）．
若a∈（1，+∞），則

1

a

＜1，由t＞0求得函數的定義域為（-∞，

1

a

）∪（1，+∞），
由二次函數的性質可得t的減區(qū)間為（-∞，

1

a

）．
若a=1，t=（x-1）²，由二次函數的性質可得t的減區(qū)間為（-∞，1）．
③當a＜0時，

1

a

＜0＜1，由t=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1）＞0，
求得函數的定義域為（

1

a

，1），利用二次函數的性質可得t在定義域內的減區(qū)間為（

1+a

2a

，1）．

點評：本題主要考查復合函數的單調性，二次函數的性質，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．