Question

如圖,在四棱錐中,⊥面,為線段上的點(diǎn).

(Ⅰ)證明:⊥面 ;
(Ⅱ)若是的中點(diǎn),求與所成的角的正切值;
(Ⅲ)若滿足⊥面,求的值.

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)

試題分析：(Ⅰ)證BD與面PAC內(nèi)的兩條相交線PA和AC都垂直，根據(jù)線面垂直可證，利用證角等于的方法可證,詳見解析。(Ⅱ) 設(shè),由(1)知，所以GO為GD在面PAC內(nèi)的攝影，所以即為所求，在直角三角形中利用三角函數(shù)即可求出。(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)中條件可求出,在直角三角形中利用勾股定理求出,同理求出,根據(jù)已知⊥面可得，根據(jù)兩直角三角形用公共邊可列出方程求解。
試題解析：證明:(Ⅰ)由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30°,且,所以;、,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240315222301976.png" style="vertical-align:middle;" />;
(Ⅱ)設(shè),由(1)知,連接,所以與面所成的角是,由已知及(1)知:,
,所以與面所成的角的正切值是;
(Ⅲ)由已知得到:,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031522729945.png" style="vertical-align:middle;" />,在中,,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031521730383.png" style="vertical-align:middle;" />⊥面,,所以,設(shè)