Question

如圖，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝BC＝AA₁，D是棱AA₁的中點(diǎn)，DC₁⊥BD.

(1)證明：DC₁⊥BC；

(2)求二面角A₁－BD－C₁的大�。�

Answer 1

解：(1)證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形．由于D為AA₁的中點(diǎn)，故DC＝DC₁.又AC＝AA₁，可得DC＋DC²＝CC，

所以DC₁⊥DC.

而DC₁⊥BD，DC∩BD＝D，

所以DC₁⊥平面BCD.

又BC⊂平面BCD，

故DC₁⊥BC.

(2)由(1)知BC⊥DC₁，且BC⊥CC₁，則BC⊥平面ACC₁A₁，所以CA，CB，CC₁兩兩相互垂直．

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?i>x軸的正方向，||為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.

由題意知A₁(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C₁(0,0,2)．

則＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．

設(shè)n＝(x，y，z)是平面A₁B₁BD的法向量，則

可取n＝(1,1,0)．

同理，設(shè)m是平面C₁BD的法向量，則可取m＝(1,2,1)．

從而cos〈n，m〉＝＝.

故二面角A₁－BD－C₁的大小為30°.