Question

【題目】已知是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：

①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；

②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．

(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；

(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；

(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ)詳解解析；(Ⅲ)證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)定義驗(yàn)證，即可判斷；

(Ⅱ)根據(jù)定義逐一驗(yàn)證，即可判斷；

(Ⅲ)解法一：首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，然后證明，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.

解法二：首先假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)，然后證得成等比數(shù)列，之后證得成等比數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.

(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；

(Ⅱ)具有性質(zhì)①；

具有性質(zhì)②；

(Ⅲ)解法一

首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，不妨設(shè)恒為正數(shù)：

顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng)，設(shè)，

第一種情況：若，即，

由①可知：存在，滿足，存在，滿足，

由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.

第二種情況：若，由①知存在實(shí)數(shù)，滿足，由的定義可知：，

另一方面，，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，

這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.

同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).

綜上可得，數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào).

其次，證明：

利用性質(zhì)②：取，此時(shí)，

由數(shù)列的單調(diào)性可知，

而，故，

此時(shí)必有，即，

最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：

假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)成等比數(shù)列，不妨設(shè)，

其中，（的情況類似）

由①可得：存在整數(shù)，滿足，且 （*）

由②得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，

由可得： （**）

由（**）和（*）式可得：，

結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，

注意到均為整數(shù)，故，

代入（**）式，從而.

總上可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.

即數(shù)列為等比數(shù)列.

解法二：

假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)：

首先利用性質(zhì)②：取，此時(shí)，

由數(shù)列的單調(diào)性可知，

而，故，

此時(shí)必有，即，

即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，

然后利用性質(zhì)①：取，則，

即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為，下面我們來(lái)證明，

否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，

在性質(zhì)②中，取，則，從而，

與前面類似的可知?jiǎng)t存在，滿足，

若，則：，與假設(shè)矛盾；

若，則：，與假設(shè)矛盾；

若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；

即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見(jiàn)不成立，從而，

然后利用性質(zhì)①：取，則數(shù)列中存在一項(xiàng)，

下面我們用反證法來(lái)證明，

否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，

在性質(zhì)②中，取，則，從而，

與前面類似的可知?jiǎng)t存在，滿足，

即由②可知：，

若，則，與假設(shè)矛盾；

若，則，與假設(shè)矛盾；

若，由于為正整數(shù)，故，則，與矛盾；

綜上可知，假設(shè)不成立，則.

同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，

同理，當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.

由推理過(guò)程易知數(shù)列中的項(xiàng)要么恒正要么恒負(fù)，不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).

從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.