Question

已知函數(shù)f（x）周期為4，且當(dāng)x∈（-1，3]時，f（x）=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5個實數(shù)解，則m的取值范圍為（　�。�

• A、（

  15

  3

  ，

  8

  3

  ）
• B、（

  15

  3

  ，

  7

  ）
• C、（

  4

  3

  ，

  8

  3

  ）
• D、（

  4

  3

  ，

  7

  ）

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時，f（x）的圖象為半個橢圓．根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個實數(shù)解，則需直線y=

x

3

與第二個橢圓相交，而與第三個橢圓不公共點．把直線分別代入橢圓方程，根據(jù)△可求得m的范圍．

解答： 解：∵當(dāng)x∈（-1，1]時，將函數(shù)化為方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），
∴實質(zhì)上為一個半橢圓，其圖象如圖所示，
同時在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈（1，3]得圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象，
由圖易知直線 y=

x

3

與第二個橢圓（x-4）²+

y2

m2

=1=1（y≥0）相交，
而與第三個半橢圓（x-8）²+

y2

m2

=1=1 （y≥0）無公共點時，方程恰有5個實數(shù)解，
將 y=

x

3

代入（x-4）²+

y2

m2

=1=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m ＞

15

3

，
同樣由 y=

x

3

與第三個橢圓（x-8）²+

y2

m2

=1=1 （y≥0）由△＜0可計算得 m＜

7

，
綜上可知m∈（

15

3

，

7

）
故選B．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，及函數(shù)的周期性，其中根據(jù)方程根與函數(shù)零點的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式進(jìn)行分析是解答本題的關(guān)鍵．