Question

5．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，△SAD是正三角形，P，Q分別是棱SC，AB的中點，且平面SAD⊥平面ABCD．
（1）求證：PQ∥平面SAD；
（2）求證：SQ⊥AC．

Answer 1

分析 （1）取SD中點F，連結(jié)AF，PF．證明PQ∥AF．利用直線與平面平行的判定定理證明PQ∥平面SAD．
（2）連結(jié)BD，證明SE⊥AD．推出SE⊥平面ABCD，得到SE⊥AC．證明EQ⊥AC，然后證明AC⊥平面SEQ，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）取SD中點F，連結(jié)AF，PF．
∵P，F(xiàn)分別是棱SC，SD的中點，∴FP∥CD，且$FP=\frac{1}{2}CD$，
∵在正方形ABCD中，Q是AB的中點，
∴AQ∥CD，且$AQ=\frac{1}{2}CD$，即FP∥AQ且FP=AQ，
∴AQPF為平行四邊形，則PQ∥AF，
∵PQ?平面SAD，AF?平面SAD，∴PQ∥平面SAD．…（6分）
（2）連結(jié)BD，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
取AD中點E，連SE，EQ，
∵Q為AB中點，∴EQ∥BD，∴AC⊥EQ．
∵SA=SD，∴SE⊥AD，
∵平面SAD⊥平面ABCD，且交線為AD，∴SE⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，∴AC⊥SE，
∵SE∩EQ=E，SE，EQ?平面SEQ，∴AC⊥平面SEQ，
∵SQ?平面SEQ，∴SQ⊥AC．…（12分）

點評 本題考查直線與平面平行以及直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，棱錐的體積的求法，考查計算能力，屬于中檔題．