已知曲線C:y=x3-3x2+2x
(1)求曲線C上斜率最小的切線方程.
(2)過原點引曲線C的切線,求切線方程及其對應的切點坐標.
分析:(1)求出曲線解析式的導函數(shù),發(fā)現(xiàn)為一個二次函數(shù),配方后當x=1時,即可求出二次函數(shù)的最小值,即導函數(shù)的最小值,即為切線方程斜率的最小值,然后把x=1代入曲線方程求出對應的y值,確定出確定的坐標,由切點坐標和斜率寫出切線方程即可;
(2)設出切點的坐標,代入曲線方程得到一個等式,代入導函數(shù)中得到切線方程的斜率,由設出的一點和表示出的斜率表示出切線方程,把原點坐標代入切線方程,即可求出切點的橫坐標,把求出的切點橫坐標代入化簡得到的等式即可求出切點的縱坐標,從而確定出切點坐標,把求出的切點橫坐標代入導函數(shù)中即可求出相應的切線方程的斜率,由切點坐標和斜率寫出切線方程即可.
解答:解:(1)y'=3x
2-6x+2=3(x-1)
2-1,
所以,x=1時,y'有最小值-1,(3分)
把x=1代入曲線方程得:y=0,所以切點坐標為(1,0),
故所求切線的斜率為-1,其方程為:y=-x+1.
(2)設切點坐標為M(x
0,y
0),則y
0=x
03-3x
02+2x
0,
切線的斜率為3x
02-6x
0+2,
故切線方程為y-y
0=(3x
02-6x
0+2)(x-x
0),(9分)
因為切線過原點,所以有-y
0=(3x
02-6x
0+2)(-x
0),
即:x
03-3x
02+2x
0=x
0(3x
02-6x
0+2),
解之得:x
0=0或
x0=.
所以,切點坐標為M(0,0)或
M(,-),
相應的切線方程為:y=2x或
y+=-(x-)即切線方程為:2x-y=0或x+4y=0.
點評:此題考查了利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率,導數(shù)的幾何意義,要求學生掌握求導法則,直線與曲線相切的性質,及待定系數(shù)法的靈活運用.