【題目】已知橢圓： 的離心率，過橢圓的左焦點且傾斜角為的直線與圓相交所得弦的長度為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交橢圓于不同的兩點，設(shè)， ，其中為坐標(biāo)原點.當(dāng)以線段為直徑的圓恰好過點時，求證： 的面積為定值，并求出該定值.

【答案】（1）；（2）定值為，證明見解析.

【解析】試題分析：(I)借助題設(shè)條件建立方程組求解；(II)依據(jù)題設(shè)運用直線與橢圓的位置關(guān)系進行探求.

試題解析：

（Ⅰ）由題意知得，即. ①

因為直線過左焦點且傾斜角為30°可得直線方程為

又因為直線與圓相交弦長為1，

所以圓心到直線距離，

再由勾股定理得：②

由①②聯(lián)立可知

即橢圓方程為

（Ⅱ）（ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時，，因為以線段為直徑的圓過原點，所以，即，

所以，

即，③

又因為點在橢圓上，所以，④

把③代入④得： ，

所以.

（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

，

因為交于不同兩點，所以，

，即，

由韋達定理得： ，

由題意知即，又，

所以，

∴，

代入整理得.⑤

又

點到直線的距離，

所以

，⑥

將⑤代入⑥得，

綜上，三角形的面積為定值1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)統(tǒng)計，截至2016年底全國微信注冊用戶數(shù)量已經(jīng)突破9.27億.為調(diào)查大學(xué)生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從某市大學(xué)生中隨機抽取100位同學(xué)進行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：

（1）求，，的值及樣本中微信群個數(shù)超過12的概率；

（2）若從這100位同學(xué)中隨機抽取2人，求這2人中恰有1人微信群個數(shù)超過12的概率；

（3）以（1）中的頻率作為概率，若從全市大學(xué)生中隨機抽取3人，記表示抽到的是微信群個數(shù)超過12的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，已知點，曲線的參數(shù)方程為．以原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）判斷點與直線的位置關(guān)系并說明理由；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線的兩個交點分別為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【2017唐山模擬】如圖，ABCDA1B1C1D1為正方體，連接BD，AC1，B1D1， CD1，B1C，現(xiàn)有以下幾個結(jié)論：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1與底面ABCD所成角的正切值是；④CB1與BD為異面直線，其中所有正確結(jié)論的序號為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】共享單車的出現(xiàn)方便了人們的出行，深受我市居民的喜愛．為調(diào)查某校大學(xué)生對共享單車的使用情況，從該校8000名學(xué)生中按年級用分層抽樣的方式隨機抽取了100位同學(xué)進行調(diào)查，得到這100名同學(xué)每周使用共享單車的時間（單位：小時）如表：

使用時間

人數(shù)

10

40

25

20

5

（Ⅰ）已知該校大一學(xué)生由2400人，求抽取的100名學(xué)生中大一學(xué)生人數(shù)；

（Ⅱ）作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

（Ⅲ）估計該校大學(xué)生每周使用共享單車的平均時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=loga（x+k）的圖像是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，為實數(shù)，，）

（1）若函數(shù)的圖象過點，且方程有且只有一個實根，求的表達式；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)時，是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于下列命題： ①若函數(shù)y=2x的定義域是{x|x≤0}，則它的值域是{y|y≤1}；
②若函數(shù)y= 的定義域是{x|x＞2}，則它的值域是{y|y≤ }；
③若函數(shù)y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，則它的定義域一定是{x|﹣2≤x≤2}；
④若函數(shù)y=log2x的值域是{y|y≤3}，則它的定義域是{x|0＜x≤8}．
其中不正確的命題的序號是 ． （注：把你認(rèn)為不正確的命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某研究小組在電腦上進行人工降雨模擬實驗，準(zhǔn)備用、、三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨，其試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表：

方式

實施地點

大雨

中雨

小雨

模擬實驗總次數(shù)

甲

4次

6次

2次

12次

乙

3次

6次

3次

12次

丙

2次

2次

8次

12次

假定對甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響，請你根據(jù)人工降雨模擬實驗的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

（Ⅰ）求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率；

（Ⅱ）考慮到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即達到理想狀態(tài)，乙地必須是大雨才達到理想狀態(tài)，丙地只能是小雨或中雨即達到理想狀態(tài)，記“甲、乙、丙三地中達到理想狀態(tài)的個數(shù)”為隨機變量，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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