Question

當(dāng)a為何值時(shí)，直線y=x與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_ax的圖象相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)及切點(diǎn)處的法線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：設(shè)出切點(diǎn)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，列出方程組，解得即可得到切點(diǎn)，再由法線的斜率為-1，由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求方程．

解答： 解：y=log_ax的導(dǎo)數(shù)為y′=

1

xlna

，
由于直線y=x與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_ax的圖象相切，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），
則

1

mlna

=1，m=n，n=log_am，
解得，m=e，n=e，a=e

1

e

，
即當(dāng)a=e

1

e

，直線y=x與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_ax的圖象相切；
切點(diǎn)坐標(biāo)為（e，e），
切點(diǎn)處的法線方程為：y-e=-（x-e），即有x+y-2e=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查直線方程的求法，法線的概念，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．