Question

已知拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F（2，0）．
（1）求拋物線方程；
（2）若拋物線的弦AB，M（5，2）為中點(diǎn)，求直線AB的方程及|AB|的長．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F（2，0），求出p，即可求拋物線方程；
（2）利用點(diǎn)差法求斜率，點(diǎn)斜式求得AB所在直線l的方程，再求出|AB|的長．

解答： 解：（1）由題意，

p

2

=2，∴2p=8，
∴拋物線方程為y²=8x；
（2）由題知l的斜率存在設(shè)斜率為且k≠0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A、B在y²=8x上，
∴y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
∴由 （y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），M（5，2）為中點(diǎn)，可得k=2，
故AB所在直線l的方程為：y-2=2（x-5），即2x-y-8=0． 
2x-y-8=0與y²=8x聯(lián)立，可得y²-4y-32=0，∴y=-4或8，
∴|AB|=

1+ 1 4

•|8+4|=6

5

．

點(diǎn)評：本題考查直線、拋物線方程的求法，求出直線的斜率，是解題的關(guān)鍵．