已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2的圖象經(jīng)過點M（1，4），曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最值．
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題：計算題,導數(shù)的綜合應用
分析：（1）由f（x）=ax3+bx2求導f′（x）=3ax2+2bx，從而得到f（1）=a+b=4，f′（1）=3a+2b=9；從而求解．
（2）由導數(shù)f′（x）=3x2+6x=3x（x+2）的正負確定函數(shù)的單調性，從而求最值．
解答： 解：（1）∵f（x）=ax3+bx2，f′（x）=3ax2+2bx，
∴f（1）=a+b=4，f′（1）=3a+2b=-
1
-
1
9
=9；
解得，a=1，b=3；
（2）f（x）=x3+3x2，f′（x）=3x2+6x=3x（x+2）；
故函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調遞減，在[0，3]上單調遞增，
而f（-1）=-1+3=2，
f（0）=0，
f（3）=27+27=54；
故函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值為54，最小值為0．
點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及導數(shù)的幾何意義的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知g（x）=ln[（m2-1）]x2-（1-m）x+1]的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），g（x）=4-x-m•（2-x）-9（m∈R），A={x|f（x）=x-2}．
（1）若A={1}，解不等式f（x）＞1；
（2）若b∈Z，-3∈A，x1，x2為方程f（x）=0的兩個實根，且
4
x1
+
1
x2
=-
1
2
，
①求b，c的值
②若對任意的t1∈[-2，2]，總存在t2∈[-2，2]，使得f（t1）=g（t2）成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1．
（1）在拋物線C1上取點M，C2的圓周取一點N，求|MN|的最小值；
（2）設P（x0，y0）（2≤x0≤4）為拋物線C1上的動點，過P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點．求AB的中點D的橫坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=cos2x-
3
2
sin2x，若α∈（
π
4
，
π
2
）且滿足f（α）=
1
2
-
3
2
，求tan2α的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=mx2+3（m-2）x-1在區(qū)間（-∞，3]上單調減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

試比較下列各式的大�。ú粚戇^程）
（1）1-
2
與
2
-
3

（2）
2
-
3
與
3
-
4

通過上式請你推測出
n-1
-
n
與
n
-
n+1
(n≥2且n∈N）的大小，并用分析法加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設點M是等腰直角三角形ABC的底邊AB的中點，P是直線AB上任意一點，PE⊥AC，E為垂足，PF⊥BC，F(xiàn)為垂足．求證：（1）|ME|=|MF|；  
（2）ME⊥MF．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}滿足a1=7，an+an+1=20，則{an}的前50項和為
 
．

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