Question

某加油站擬造如圖所示的鐵皮儲油罐（不計厚度，長度單位：米），其中儲油罐的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，l=2r-3（l為圓柱的高，r為球的半徑，l≥2）．假設該儲油罐的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方米建造費用為c千元，半球形部分每平方米建造費用為3千元．設該儲油罐的建造費用為y千元．
（1）寫出y關于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該儲油罐的建造費用最小時的r的值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：應用題

分析：第（1）問要構(gòu)造y關開x的函數(shù)，建造費用y=圓柱形部分每平方米建造費用為c×圓柱形部分的面積+半球形部分每平方米建造費用為3×半球部分的面積；第（2）問，根據(jù)第（1）問中求出的解析式，建造費用y是關于r的二次函數(shù)，通過分析對稱軸與定義域的關系求最值．

解答： 解：（1）y=2πrlc+4πr²•3，
y=（12π+4πc）r²-6πrc（r≥

5

2

）      …（6分）
（2）y=(12π+4πc)[r-

3c

(12+4c)

]2-

9πc2

12+4c

…（8分）
∵

3c

12+4c

=

3

4

(1-

3

c+3

)＜

3

4

，
∴y在[

5

2

，+∞)上是增函數(shù)   …（12分）
∴當r=

5

2

時，儲油罐的建造費用最�。�…（14分）

點評：本題是應用題，解決本題的關鍵是在理解意的基礎上構(gòu)建函數(shù)模型，在求函數(shù)最值時要注意函數(shù)的定義域；本題涉及的字母比較多，有一定的運算量，屬于易錯題．