Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）若，求的取值范圍.
（3）證明：  +（n）

Answer 1

（1）0；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求，再利用判斷函數(shù)的單調(diào)性并求最值；
（2）思路一：由，分，，三種情況研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷與的關(guān)系，確定的取值范圍.
思路二：由，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051123851448.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
令，，顯然，知為單調(diào)遞減函數(shù)，
結(jié)合在上恒成立，可知在恒成立，轉(zhuǎn)化為，從而求得的取值范圍.
（3）在中令，得時(shí)，．將代入上述不等式，再將得到的個(gè)不等式相加可得結(jié)論.
解證：（1），                       1分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；       3分
故.                    4分
（2）解法一：，          5分
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051124615553.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，所以時(shí)，；         6分
當(dāng)時(shí)，令，．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，
故在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，使得對(duì)于有，
也即．所以，當(dāng)時(shí)；      8分
當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)    9分
綜上，知的取值范圍是.                10分
解法二：，             5分
令，．
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減.           6分
若在內(nèi)存在使的區(qū)間，
則在上是增函數(shù)，，與已知不符.    8分
故，，此時(shí)在上是減函數(shù)，成立．
由，恒成立，而，
則需的最大值，即，，
所以的取值范圍是.                         10分
（3）在（2）中令，得時(shí)，.     11分
將代入上述不等式，再將得到的個(gè)不等式相加，得.             14分