Question

7．如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B、C兩點，PA=3，PB=1，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點D和E．
（I）求證PA•DC=PC•DB；
（Ⅱ）求 AD•AE的值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導出△PAB∽△PCA，AD是∠BAC的角平分線，由此能夠證明PA•DC=PC•DB．
（2）由切割線定理求出PC=40，BC=30，由已知條件條件推導出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值

解答 證明：（Ⅰ）∵AP為圓O的切線，∴∠PAB=∠ACP，
又∠P為公共角，∴△PAB∽△PCA，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AP}{PC}$，
∵AD是∠BAC的角平分線，∴$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$．
∴$\frac{DB}{DC}=\frac{AP}{PC}$，∴PA•DC=PC•DB． …（5分）
（2）解：∵PA為圓O的切線，BC是過點O的割線，
∴PA²=PB•PC，
∴PC=9，BC=8，
又∵∠CAB=90°，∴AC²+AB²=BC²=64，
又由（Ⅰ）知$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∴$AC=\frac{{12\sqrt{10}}}{5}，AB=\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$，
連接EC，則∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD•AE=AB•AC=$\frac{4\sqrt{10}}{5}•\frac{12\sqrt{10}}{5}$=$\frac{96}{5}$．…（10分）

點評 本題考查三角形相似的證明和應用，考查線段乘積的求法，是中檔題，解題時要注意切割線定理的合理運用．