Question

如圖所示，在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)． (1) 求證：EF⊥平面BCD (2) 求多面體ABCDE的體積 (3) 求平面CDE與平面ABDE所成二而角的余弦值

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：如圖所示取BC中點(diǎn)G，連結(jié)FG、AG． 　　∵AE⊥平面ABC，BD∥AE， ∴ BD⊥平面ABC． 　　又∵AG平面ABC，∴BD⊥AG．又∵AC=AB，G是BC中點(diǎn)，∴AG ⊥BC，∴AG⊥平面BCD 　　∵F是CD的中點(diǎn)且BD=2， 　　∴FG∥BD且FG=BD=1，∴FG∥AE． 　　又∵AE=1，∴AE=FG，故四邊形AEFG是平行四邊形，從而EF∥AG，∴EF⊥面BCD．
(2)	設(shè)AB中點(diǎn)為H，則由AC=AB=BC=2，可得CH⊥AB且CH=． 　　又∵BD∥AE，∴BD與AE共面．又AE⊥平面ABC，故平面ABDE⊥平面ABC， 　　∴CH⊥平面ABDE，即CH為四棱錐C－ABDE的高． 　　故VC－ABDE=SABDE·CH=×[(1＋2)×2]×=．
(3)	過C作CK⊥DE于K，連結(jié)KH，由三垂線定理的逆定理得KH⊥DE，∴∠HKC為二面角C－DE－B的平面角． 　　易知EC=，DE=，CD=2， 　　由S△DCE=×(2)×=××CK，可得CK=在Rt△CHK中，sin∠HKC==，故cos∠HKC=． 　　∴平面CDE與平面ABDE所成的二面角的余弦值為． 　　點(diǎn)評：在計(jì)算多面體的體積時(shí)，要善于將多面體分割化歸為常見幾何體計(jì)算，或者像本題這樣換個(gè)角度看問題，我們發(fā)現(xiàn)此多面體ABCDE即為四棱錐C－ABDE，從而用錐體的體積公式解題．