【題目】(12分)已知橢圓C:(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1,)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點(diǎn).
【答案】(1)C的方程為
(2)詳見解析
【解析】(1)由于,兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過,兩點(diǎn).
又由知,C不經(jīng)過點(diǎn)P1,所以點(diǎn)P2在C上.
因此,解得.
故C的方程為.
(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2,
如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知,且,可得A,B的坐標(biāo)分別為(t,),(t,).
則,得,不符合題設(shè).
從而可設(shè)l:().將代入得
由題設(shè)可知.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.
而
.
由題設(shè),故.
即.
解得.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,欲使l:,即,
所以l過定點(diǎn)(2,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí), ,則對(duì)任意,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有( )
A. 3個(gè) B. 4個(gè) C. 6個(gè) D. 9個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題: ①把函數(shù)y=sin(x﹣ )圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=sin(2x﹣ );
②若α,β是第一象限角且α<β,則cosα>cosβ;
③x=﹣ 是函數(shù)y=cos(2x+ π)的一條對(duì)稱軸;
④函數(shù)y=4sin(2x+ )與函數(shù)y=4cos(2x﹣ )相同;
⑤y=2sin(2x﹣ )在[0, ]是增函數(shù);
則正確命題的序號(hào) .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
()當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間和極值.
()若對(duì)于任意,都有成立,求的取值范圍 ;
()若且證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在物理實(shí)驗(yàn)中,為了研究所掛物體的重量x對(duì)彈簧長度y的影響.某學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到物體的重量與彈簧長度的對(duì)比表:
物體重量(單位g) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
彈簧長度(單位cm) | 1.5 | 3 | 4 | 5 | 6.5 |
參考公式:
①.樣本數(shù)據(jù)x1 , x2 , …xn的標(biāo)準(zhǔn)差
s= ,其中 為樣本的平均數(shù);
②.線性回歸方程系數(shù)公式 = = , = ﹣ .
(1)畫出散點(diǎn)圖;
(2)利用所給的參考公式,求y對(duì)x的回歸直線方程;
(3)預(yù)測(cè)所掛物體重量為8g時(shí)的彈簧長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)的頒獎(jiǎng)儀式上,高一、高二、高三各代表隊(duì)人數(shù)分別為120人、120人、n人.為了活躍氣氛,大會(huì)組委會(huì)在頒獎(jiǎng)過程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng),并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取20人在前排就坐,其中高二代表隊(duì)有6人.
(1)求n的值;
(2)把在前排就坐的高二代表隊(duì)6人分別記為a,b,c,d,e,f,現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng).求a和b至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率.
(3)抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是:代表通過操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)[0,1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)x,y,并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”,則該代表中獎(jiǎng);若電腦顯示“謝謝”,則不中獎(jiǎng),求該代表中獎(jiǎng)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求證:M為PB的中點(diǎn);
(II)求二面角B-PD-A的大;
(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一(2)班共有60名同學(xué)參加期末考試,現(xiàn)將其數(shù)學(xué)學(xué)科成績(均為整數(shù))分成六個(gè)分?jǐn)?shù)段[40,50),[50,60),…,[90,100],畫出如如圖所示的部分頻率分布直方圖,請(qǐng)觀察圖形信息,回答下列問題:
(1)求70~80分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù);
(2)估計(jì)這次考試中該學(xué)科的優(yōu)分率(80分及以上為優(yōu)分)、中位數(shù)、平均值;
(3)現(xiàn)根據(jù)本次考試分?jǐn)?shù)分成下列六段(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第六組)為提高本班數(shù)學(xué)整體成績,決定組與組之間進(jìn)行幫扶學(xué)習(xí).若選出的兩組分?jǐn)?shù)之差大于30分(以分?jǐn)?shù)段為依據(jù),不以具體學(xué)生分?jǐn)?shù)為依據(jù)),則稱這兩組為“最佳組合”,試求選出的兩組為“最佳組合”的概率.
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