【題目】已知過點(diǎn)M( ,0)的直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且 =﹣3,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求p的值;
(2)當(dāng)|AM|+4|BM|最小時(shí),求直線l的方程.
【答案】
(1)解:設(shè)A(x1,y1),Bx2,y2),直線l:x=my+ ,
代入拋物線方程,消去x,得,y2﹣2pmy﹣p2=0,
y1+y2=2pm,y1y2=﹣p2,
由于 =﹣3,即x1x2+y1y2=﹣3,
x1x2= = ,
即有 ﹣p2=﹣3,解得,p=2
(2)解:由拋物線的定義,可得,|AM|=x1+1,|BM|=x2+1,
則|AM|+4|BM|=x1+4x2+5 +5=9,
當(dāng)且僅當(dāng)x1=4x2時(shí)取得最小值9.
由于x1x2=1,則解得,x2= (負(fù)的舍去),
代入拋物線方程y2=4x,解得,y2= ,即有B( ),
將B的坐標(biāo)代入直線x=my+1,得m= .
則直線l:x= y+1,即有4x+ y﹣4=0或4x﹣ y﹣4=0
【解析】(1)設(shè)A(x1 , y1),Bx2 , y2),直線l:x=my+ ,代入拋物線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,及平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,即可得到p=2;(2)運(yùn)用拋物線的定義,及均值不等式,即可得到最小值9,注意等號成立的條件,求得B的坐標(biāo),代入直線方程,求得m,即可得到直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)F(x)=f(x)+f(﹣x)在區(qū)間 是單調(diào)遞減函數(shù),將F(x)的圖象按向量 平移后得到函數(shù)G(x)的圖象,則G(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】[選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為.
(1)若a=1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題:實(shí)數(shù)滿足(),命題:實(shí)數(shù)滿足.
(1)若且“”為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)f(x)=2sin(3x﹣ ),有下列命題:①其表達(dá)式可改寫為y=2cos(3x﹣ );②y=f(x)的最小正周期為 ;③y=f(x)在區(qū)間( , )上是增函數(shù);④將函數(shù)y=2sin3x的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動 個(gè)單位長度就得到函數(shù)y=f(x)的圖象.其中正確的命題的序號是(注:將你認(rèn)為正確的命題序號都填上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),下列說法錯(cuò)誤的是
A. 是的最小值點(diǎn)
B. 函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)
C. 存在正實(shí)數(shù),使得恒成立
D. 對任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù),若,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一條寬為的兩平行河岸有村莊和供電站,村莊與的直線距離都是, 與河岸垂直,垂足為現(xiàn)要修建電纜,從供電站向村莊供電.修建地下電纜、水下電纜的費(fèi)用分別是萬元、萬元.
(1) 如圖①,已知村莊與原來鋪設(shè)有電纜,現(xiàn)先從處修建最短水下電纜到達(dá)對岸后后,再修建地下電纜接入原電纜供電,試求該方案總施工費(fèi)用的最小值;
(2) 如圖②,點(diǎn)在線段上,且鋪設(shè)電纜的線路為.若,試用表示出總施工費(fèi)用(萬元)的解析式,并求的最小值.
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