Question

已知函數f（x）=

2-x x ，x≥1 2x-1，x＜1

，g（x）=x²-2x，若關于x的方程f[g（x）]=k有四個不相等的實根，則實數k∈

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：對于函數f（x）=

2-x x ，x≥1 2x-1，x＜1

，當x≥1時，f（x）單調遞減且-1＜f（x）≤1；當x＜1時，f（x）單調遞增且0＜f（x）＜1；從而討論g（x）在分段函數各段上解的個數，從而求解．

解答： 解：對于函數f（x）=

2-x x ，x≥1 2x-1，x＜1

，
當x≥1時，f（x）單調遞減且-1＜f（x）≤1；
當x＜1時，f（x）單調遞增且0＜f（x）＜1；
故實數k一定在區(qū)間（0，1）之間，
若

2-g(x)

g(x)

=k；則可化為g（x）=x²-2x=

2

1+k

；
顯然有兩個不同的根，
若2^g（x）-1=k，則g（x）=x²-2x=1+log₂k；
故△=4+4+4log₂k＞0；
即k＞

1

4

；
綜上所述，實數k∈(

1

4

，1)；
故答案為：(

1

4

，1)．

點評：本題考查了分段函數與復合函數的應用，屬于基礎題．