【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性,不需要說明理由.
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由.
(3)對(duì)于任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)增函數(shù); (2)奇函數(shù),理由見解析; (3).
【解析】
(1)將函數(shù)化為,即可直接得出結(jié)果;
(2)先由解析式,得到函數(shù)定義域, 再由,即可判斷出結(jié)果;
(3)先由函數(shù)奇偶性與單調(diào)性,將原不等式化為,在恒成立,令,,分別討論,,三種情況,結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性,即可得出結(jié)果.
(1)為上的增函數(shù);
(2)根據(jù)題意,函數(shù),其定義域?yàn)?/span>,
有,
則函數(shù)為奇函數(shù);
(3)由(2)的結(jié)論,為上的奇函數(shù),
則可化為:,
即,
又由在上是單調(diào)遞增的函數(shù),則有,在恒成立;
即,在恒成立,
設(shè),,則等價(jià)于即可.
即,
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,其最小值為,得,不成立;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,其最小值為,解得,所以;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,其最小值為,可得,所以
綜上可得:的取值范圍為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】東莞市攝影協(xié)會(huì)準(zhǔn)備在2019年10月舉辦主題為“慶祖國70華誕——我們都是追夢人”攝影圖片展.通過平常人的鏡頭記錄國強(qiáng)民富的幸福生活,向祖國母親的生日獻(xiàn)禮,攝影協(xié)會(huì)收到了來自社會(huì)各界的大量作品,打算從眾多照片中選取100張照片展出,其參賽者年齡集中在之間,根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,做出頻率分布直方圖如圖:
(1)求頻率分布直方圖中的值,并根據(jù)頻率分布直方圖,求這100位攝影者年齡的樣本平均數(shù)和中位數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)為了展示不同年齡作者眼中的祖國形象,攝影協(xié)會(huì)按照分層抽樣的方法,計(jì)劃從這100件照片中抽出20個(gè)最佳作品,并邀請(qǐng)相應(yīng)作者參加“講述照片背后的故事”座談會(huì).
①在答題卡上的統(tǒng)計(jì)表中填出每組相應(yīng)抽取的人數(shù):
年齡 | |||||
人數(shù) |
②若從年齡在的作者中選出2人把這些圖片和故事整理成冊(cè),求這2人至少有一人的年齡在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn),且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),試問:是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】假定生男孩和生女孩是等可能的,令{一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩},{一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}.對(duì)下述兩種情形,討論與的獨(dú)立性.
(1)家庭中有兩個(gè)小孩;
(2)家庭中有三個(gè)小孩.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)聯(lián)盟舉行了一次“盟校質(zhì)量調(diào)研考試”活動(dòng),為了解本次考試學(xué)生的某學(xué)科成績情況,從中抽取部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(滿分為分,得分取正整數(shù),抽取學(xué)生的分?jǐn)?shù)均在之內(nèi))作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(莖葉圖中僅列出了得分在的數(shù)據(jù))
(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值;
(Ⅱ)在選取的樣本中,從成績?cè)?/span>分以上(含分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生參加“省級(jí)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)競賽”,求所抽取的名學(xué)生中恰有一人得分在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人各擲一個(gè)均勻的骰子,觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù),記事件A:甲得到的點(diǎn)數(shù)為2,B:乙得到的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù).
(1)求,,,判斷事件A與B是否相互獨(dú)立;
(2)求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘(如圖),并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個(gè),一排中各個(gè)釘子恰好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩顆釘子間隔的小球,當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí),由于碰到下一排鐵釘,它將以相等的可能性向左或向右落下,接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙,又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去,在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球.
(Ⅰ)理論上,小球落入4號(hào)容器的概率是多少?
(Ⅱ)一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn),設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,,且對(duì)任意正整數(shù)都成立,數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)若,且,求;
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列,且任意相鄰三項(xiàng)按某順序排列后成等差數(shù)列,若存在,求出所有k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]
(Ⅰ)求圖中的值,并估計(jì)該班期中考試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù);
(Ⅱ)從成績不低于90分的學(xué)生和成績低于50分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,求這2人成績均不低于90分的概率.
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