Question

一批燈泡的使用時(shí)間ξ(單位:小時(shí))服從正態(tài)分布N(10 000,4002).

(1)求這批燈泡中“使用時(shí)間超過(guò)10 800小時(shí)”的燈泡的概率;

(2)現(xiàn)從這批燈泡中隨機(jī)抽取100個(gè),求這100個(gè)燈泡中“使用時(shí)間超過(guò)10 800小時(shí)”的燈泡個(gè)數(shù)的期望.(下列數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)選用:Φ(0.5)=0.691 5,Φ(1)=0.841 3,Φ(2)=0.977 2)

分析：本題考查正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化及二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

解：(1)由已知μ=10 000,σ=400,設(shè)η&N(0,1),

則P(ξ＞10 800)=P(η＞)=P(η＞2)=1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8,

即這批燈泡中“使用時(shí)間超過(guò)10 800小時(shí)”的燈泡的概率為0.022 8.

(2)這100個(gè)燈泡中使用時(shí)間超過(guò)10 800小時(shí)的燈泡個(gè)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量,且ξ&B(100,0.022 8),

∴Eξ=100×0.022 8=2.28,

即這100個(gè)燈泡中使用時(shí)間超過(guò)10 800小時(shí)的燈泡個(gè)數(shù)的期望為2.28.

點(diǎn)評(píng)：在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)中,相應(yīng)于x₀的值Φ(x₀)是指總體小于x₀的概率,即Φ(x₀)=P(x＜x₀).對(duì)一般正態(tài)總體N(μ,σ²),在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率,均可依據(jù)公式轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)來(lái)進(jìn)行研究.