【題目】已知函數(shù).
(1)當時,試判斷函數(shù)的極值情況,并說明理由;
(2)若有兩個極值點,.
①求實數(shù)的取值范圍;
②證明:.注:是自然對數(shù)的底數(shù))
【答案】(1)函數(shù)無極值;(2)①;②證明見詳解
【解析】
(1)把代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),把導(dǎo)函數(shù)二次求導(dǎo),求出導(dǎo)函數(shù)的最大值,得到導(dǎo)函數(shù)的最大值小于,從而可得原函數(shù)在實數(shù)集上的減函數(shù),進而可判斷函數(shù)的極值情況.
(2)①把函數(shù)有兩個極值點轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)有兩個零點,該函數(shù)先減后增有極小值,然后根據(jù)圖像的交點情況得到的范圍;②由是原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的根,把代入導(dǎo)函數(shù)解析式,用表示,然后把的表達式中的替換,得到關(guān)于的函數(shù)式后再利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性,從而得到要證的結(jié)論.
(1)當時,,
則,
令,,
當時,,
當時,,
當時,,
函數(shù)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),
,
故恒成立,所以在上為減函數(shù),
故函數(shù)無極值.
(2)①由,
所以,
若有兩個極值點,,則,是方程的兩根,
故方程有兩個根,,
又因為顯然不是該方程的根,所以方程,有兩個根,
設(shè),得,
若時,且,單調(diào)遞減.
若時,
當時,,單調(diào)遞減.
當時,,單調(diào)遞增,
要使方程有兩個根,需,
故且,
故實數(shù)的取值范圍為.
②證明:由,得,
故,
,
設(shè),
則,在上單調(diào)遞減,
故,即.
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【題目】關(guān)于不同的直線與不同的平面,有下列六個命題:
①若則;
②若則;
③若且則;
④若且則;
⑤若且則;
⑥若且則;
其中正確命題的序號是__________;
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【題目】已知橢圓:()的離心率為,設(shè)直線過橢圓的上頂點和右頂點,坐標原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)過點且斜率不為零的直線交橢圓于,兩點,在軸的正半軸上是否存在定點,使得直線,的斜率之積為非零的常數(shù)?若存在,求出定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】給出下列命題:
(1)命題“若b2-4ac<0,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實根”的否命題
(2)命題“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC為等邊三角形”的逆命題
(3)命題“若a>b>0,則>>0”的逆否命題
(4)“若m>1,則mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集為R”的逆命題
其中真命題的序號為__________.
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【題目】如圖,是邊長為2的正方形,平面平面,且,是線段的中點,過作直線,是直線上一動點.
(1)求證:;
(2)若直線上存在唯一一點使得直線與平面垂直,求此時二面角的余弦值.
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【題目】“工資條里顯紅利,個稅新政人民心”.隨著2019年新年鐘聲的敲響,我國自1980年以來,力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實施的階段.2019年1月1日實施的個稅新政主要內(nèi)容包括:(1)個稅起征點為5000元;(2)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點-專項附加扣除;(3)專項附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.
新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計算方法及其對應(yīng)的稅率表如下:
舊個稅稅率表(個稅起征點3500元) | 新個稅稅率表(個稅起征點5000元) | |||
繳稅級數(shù) | 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點 | 稅率(%) | 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點-專項附加扣除 | 稅率(%) |
1 | 不超過1500元部分 | 3 | 不超過3000元部分 | 3 |
2 | 超過1500元至4500元部分 | 10 | 超過3000元至12000元部分 | 10 |
3 | 超過4500元至9000元的部分 | 20 | 超過12000元至25000元的部分 | 20 |
4 | 超過9000元至35000元的部分 | 25 | 超過25000元至35000元的部分 | 25 |
5 | 超過35000元至55000元部分 | 30 | 超過35000元至55000元部分 | 30 |
··· | ··· | ··· | ··· | ··· |
隨機抽取某市1000名同一收入層級的從業(yè)者的相關(guān)資料,經(jīng)統(tǒng)計分析,預(yù)估他們2019年的人均月收入24000元.統(tǒng)計資料還表明,他們均符合住房專項扣除;同時,他們每人至多只有一個符合子女教育扣除的孩子,并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是2:1:1:1;此外,他們均不符合其他專項附加扣除.新個稅政策下該市的專項附加扣除標準為:住房1000元/月,子女教育每孩1000元/月,贍養(yǎng)老人2000元/月等。
假設(shè)該市該收入層級的從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除,將預(yù)估的該市該收入層級的從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入.根據(jù)樣本估計總體的思想,解決如下問題:
(1)設(shè)該市該收入層級的從業(yè)者2019年月繳個稅為元,求的分布列和期望;
(2)根據(jù)新舊個稅方案,估計從2019年1月開始,經(jīng)過多少個月,該市該收入層級的從業(yè)者各月少繳交的個稅之和就超過2019年的月收入?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲船在島的正南處,以4千米/時的速度向正北方向航行,千米,同時乙船自島出發(fā)以6千米/時向北偏東60°的方向駛?cè)?/span>.當甲、乙兩船相距最近時,它們所航行的時間為( )
A.B.C.D.2.15h
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