Question

【題目】已知函數f（x）= sin（2x+ ）﹣cos2x+ ．
（Ⅰ）求函數f（x）在[0，π]上的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，f（A）= ，a=3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）= （ sin2x+ cos2x）﹣ cos2x= （ sin2x+ cos2x）= sin（2x+ ），

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

∵x∈[0，π]，

∴函數f（x）在[0，π]上的單調遞增區(qū)間為[0， ]，[ ，π]；

（Ⅱ）由f（A）= sin（2A+ ）= 得：sin（2A+ ）= ，

∵0＜A＜π，

∴ ＜2A+ ＜ ，

∴2A+ = ，

∴A= ，

由余弦定理知a2=9=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，

∴bc≤9（當且僅當b=c時等號成立），

∴S= bcsinA≤ ×9× = ，

∴△ABC面積的最大值為

【解析】（Ⅰ）函數f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的余弦函數公式化簡，整理為一個角的正弦函數，利用正弦函數的單調性確定出f（x）在[0，π]上的單調遞增區(qū)間即可；（Ⅱ）由f（A）的值，確定出A的度數，利用余弦定理求出bc的最大值，進而求出三角形ABC面積的最大值即可．
【考點精析】通過靈活運用正弦函數的單調性和正弦定理的定義，掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；正弦定理:即可以解答此題．