Question

對(duì)于給定數(shù)列，如果存在實(shí)常數(shù)使得對(duì)于任意都成立，我們稱(chēng)數(shù)列是 “線(xiàn)性數(shù)列”．

（1）若，，，數(shù)列、是否為“線(xiàn)性數(shù)列”？若是，指出它對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）證明：若數(shù)列是“線(xiàn)性數(shù)列”，則數(shù)列也是“線(xiàn)性數(shù)列”；

（3）若數(shù)列滿(mǎn)足，，為常數(shù)．求數(shù)列前項(xiàng)的和．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由 ，可得 ，可得數(shù)列{an}是“線(xiàn)性數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1，2．同理數(shù)列 是“線(xiàn)性數(shù)列”．（2）利用“線(xiàn)性數(shù)列”的定義即可證明；（3）對(duì)n分奇數(shù)與偶數(shù)討論，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

試題解析：（1）【解析】
，∴數(shù)列 是“線(xiàn)性數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1，2．∵ ， ，∴數(shù)列 是“線(xiàn)性數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2，0．

（2）證明：若數(shù)列{an}是“線(xiàn)性數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q，使得 對(duì)于任意 都成立，

且有 對(duì)于任意 都成立，因此 對(duì)于任意 都成立，故數(shù)列 也是“線(xiàn)性數(shù)列”．對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為p，2q．

（3）【解析】
，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

故數(shù)列 前n項(xiàng)的和 .

考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．