如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PC⊥平面ABC,點(diǎn)C在平面PBA內(nèi)的射影D在直線PB上.
(1)求證:AB⊥平面PBC;
(2)設(shè)AB=BC,直線PA與平面ABC所成的角為45°,求異面直線AP與BC所成的角;
(3)在(2)的條件下,求二面角C-PA-B的余弦值.
證明:(1)由于PC⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以AB⊥PC,
由于點(diǎn)C在平面PBA內(nèi)的射影在直線PB上,
所以CD⊥平面PAB.
又因?yàn)锳B?平面PBA,所以AB⊥CD.
因此AB⊥平面PCB.
(2)因?yàn)镻C⊥平面ABC,
所以∠PAC為直線PC與平面ABC所成的角,
于是∠PAC=45°,設(shè)AB=BC=1,則PC=AC=
2
,
以B為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),P(1,0,
2
)

AP
=(1,-1,
2
),
BC
=(1,0,0),
BA
=(0,1,0)

因?yàn)?span >cos<
AP
,
BC
>=
AP
BC
|
AP
|•|
BC
|
=
1
2
,
所以異面直線AP與BC所成的角為60°;
(3)取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)BE,則
BE
=(
1
2
,
1
2
,0)

因?yàn)锳B=BC,所以BE⊥AC.
又因?yàn)槠矫鍼CA⊥平面ABC,所以BE⊥平面PAC.
因此,
BE
是平面PAC的一個法向量.
設(shè)平面PAB的一個法向量為
n
=(x,y,z),
則由
n
BA
n
AP
,得
y=0
x-y+
2
z=0
,取z=1,得
y=0
x=-
2
,
因此,
n
=(-
2
,0,1)
,
于是cos<
n
,
BE
>=
n
BE
|
n
||
BE
|
=
-
2
2
2
2
3
=-
3
3

又因?yàn)槎娼荂-PA-B為銳角,故所求二面角的余弦值為
3
3

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在直角梯形PBCD中,∠D=∠C=
π
2
,BC=CD=2,PD=4
,A為PD的中點(diǎn),如圖.將△PAB沿AB折到△SAB的位置,使SB⊥BC,點(diǎn)E在SD上,且
SE
=
1
3
SD
,如圖.
(Ⅰ)求證:SA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角E-AC-D的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

平面α的一個法向量為
n
=(1,-
3
,0)
,則y軸與平面α所成的角的大小為(  )
A.
π
6
B.
π
3
C.
π
4
D.
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).
(1)求證:BD1平面A1DE;
(2)求證:D1E⊥A1D;
(3)在線段AB上是否存在點(diǎn)E,使二面角D1-EC-D的大小為
π
6
?若存在,求出AE的長;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,點(diǎn)P在邊AB上,設(shè)
AP
PB
(λ>0),過點(diǎn)P作PEBC交AC于E,作PFAC交BC于F.沿PE將△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC;沿PE將△BPF翻折成△B′PF,使平面B′PF⊥平面ABC.
(1)求證:B′C平面A′PE;
(2)是否存在正實(shí)數(shù)λ,使得二面角C-A′B′-P的大小為90°?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=1,BD=
2
,∠ABD=90°,將它們沿對角線BD折起,折后的點(diǎn)C變?yōu)镃1,且AC1=2.
(1)求證:平面ABD⊥平面BC1D;
(2)E為線段AC1上的一個動點(diǎn),當(dāng)線段EC1的長為多少時,DE與平面BC1D所成的角為30°?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知二面角α-l-β,點(diǎn)A∈α,B∈β,AC⊥l于點(diǎn)C,BD⊥l于D,且AC=CD=DB=1,求證:AB=2的充要條件α-l-β=1200

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EFAB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=1,點(diǎn)P在棱DF上.
(Ⅰ)若P是DF的中點(diǎn),
(。┣笞C:BF平面ACP;
(ⅱ)求異面直線BE與CP所成角的余弦值;
(Ⅱ)若二面角D-AP-C的余弦值為
6
3
,求PF的長度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知向量 若,則_________.

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