Question

拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A、B在拋物線上，且∠AFB=

π

2

，弦AB的中點(diǎn)M在其準(zhǔn)線上的射影為N，則

|MN|

|AB|

的最大值為

2

2

．

Answer 1

分析：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得|AB|²=a²+b²，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的范圍，進(jìn)而可得答案．

解答：解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，
得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得，|AB|²=a²+b²配方得，|AB|²=（a+b）²-2ab，
又ab≤（

a+b

2

）²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-

(a+b)2

2

得到|AB|≥

2

2

（a+b）．
所以

|MN|

|AB|

≤

a+b 2

2 (a+b) 2

=

2

2

，即

|MN|

|AB|

的最大值為

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的應(yīng)用和解三角形的應(yīng)用，考查了計算能力、分析問題和解決問題的能力．