Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.

(1)求a的值；

(2)記g(x)＝bx2－1，若方程f(x)＝g(x)的解集恰有3個元素，求b的取值范圍.

Answer 1

解析：(1)f′(x)＝4x3－12x2＋2ax，因?yàn)閒(x)在[0,1]上遞增，在[1,2]上遞減，所以x＝1是f(x)的極值點(diǎn)，所以f′(1)＝0，

即4×13－12×12＋2a×1＝0.

解得a＝4，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以a＝4.

(2)由f(x)＝g(x)可得

x2(x2－4x＋4－b)＝0，

由題意知此方程有三個不相等的實(shí)數(shù)根，

此時x＝0為方程的一實(shí)數(shù)根，則方程x2－4x＋4－b＝0應(yīng)有兩個不相等的非零實(shí)根，

所以Δ>0，且4－b≠0，

即(－4)2－4(4－b)>0且b≠4，

解得b>0且b≠4，

所以所求b的取值范圍是(0,4)∪(4，＋∞).