Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：對(duì)任意的，函數(shù)的圖像與直線最多有一個(gè)交點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的圖像至少有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化后為方程的解的個(gè)數(shù)討論問(wèn)題，針對(duì)參數(shù)b和兩種情況進(jìn)行討論，研究圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；當(dāng)研究對(duì)數(shù)方程時(shí)，利用同底對(duì)數(shù)相等，只需真數(shù)大于零且相等，令轉(zhuǎn)化為二次方程的根的分布問(wèn)題，根據(jù)判別式等要求，列不等式求解.

試題解析：

（1）證明：原問(wèn)題等價(jià)于解的討論.

因?yàn)?/span>，即.

當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，即兩圖像無(wú)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，方程有一解，即兩圖像有一個(gè)交點(diǎn)，得證.

（2）函數(shù)與函數(shù)的圖像至少有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程

至少有一個(gè)解.即.

設(shè)，即方程至少有一個(gè)正解.

當(dāng)時(shí)，即

∵ ∴不符合題意

當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)正解，符合題意.

當(dāng)時(shí)，即.此時(shí)方程有兩個(gè)不同的正解.

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.

轉(zhuǎn)化成.利用函數(shù)單調(diào)性也可以處理.