Question

2．已知函數(shù)f（x）=a^x-2$\sqrt{4-{a}^{x}}$-1（a＞1）．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的定義域、值域；
（2）若函數(shù)f（x）滿足：對于任意x∈（-∞，1]，都有f（x）+1≤0．試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由二次根式的性質(zhì)及指數(shù)不等式的解法，求定義域，用換元法及復(fù)合函數(shù)的值域求法求值域；
（2）由f（x）+1≤0⇒a^x≤$2\sqrt{4-{a}^{x}}$⇒0＜a^x≤$2\sqrt{5}-2$，（a^x）_max≤2$\sqrt{5}$-2即可

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2^x-2$\sqrt{4-{2}^{x}}-1$，
有4-2^x≥0，的2^x≤4，所以x≤2，
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海?∞，2]．
令t=$\sqrt{4-{2}^{x}}$⇒0≤t＜2，且2^x=4-t²，
所以f（x）=g（t）=-t²-2t+3=-（t+1）²+4    （0≤t＜2）
g（2）＜g（t）≤g（0），即-5＜f（x）≤3
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋海?5，3]．
（2）由f（x）+1≤0得a^x≤$2\sqrt{4-{a}^{x}}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（{a}^{x}）^{2}≤4（4-{a}^{x}）}\\{4-{a}^{x}≥0}\end{array}\right.$，解得0＜a^x≤$2\sqrt{5}-2$，
因?yàn)閍＞1，且x≤1，∴（a^x）_max=a
∴1＜a≤2$\sqrt{5}$-2．

點(diǎn)評 本體考查了符合函數(shù)的定義域、值域，及恒成立問題，轉(zhuǎn)化思想，是關(guān)鍵，屬于中檔題．