如圖：已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為3的正方形ABCD，PA⊥面ABCD，點M是CD的中點，點N是PB的中點，連接AM、AN、MN．
（1）求證：AB⊥MN；
（2）若MN=5，求二面角N-AM-B的余弦值．

【答案】分析：（1）四棱錐P-ABCD的底面是邊長為3的正方形ABCD，且PA⊥面ABCD，由此得到AD，AB，AP兩兩互相垂直，分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出AP長度，則可得到圖中各點坐標(biāo)，求出向量，由它們的數(shù)量積等于0證得AB⊥MN；
（2）利用MN=5，求出AP的長度，分別求出平面AMB和平面AMN的一個法向量，利用兩個平面的法向量所成的角求二面角N-AM-B的余弦值．
解答：（1）證明：因為底面是邊長為3的正方形，PA⊥面ABCD，
所以AP⊥AD⊥AB．如圖，
分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=t
則
得，．
∴=0，所以AB⊥MN；
（2）解：由，得，
解得t=8，即PA=8．
取平面AMB的一個法向量為
設(shè)平面AMN的法向量，又，
由得：，取y=-2，得x=1，z=．
所以平面AMN的一個法向量是，
設(shè)二面角N-AM-B為α，則=．
所以二面角N-AM-B的余弦值為．
點評：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了利用空間向量求二面角的大小，利用空間向量求二面角的大小時，關(guān)鍵是分清兩個平面的法向量所成的角與二面角的關(guān)系，此題是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點E是BC邊上的中點．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED； ②求二面角P-AB-C大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點M，N分別在PD，PC上，
PN
=
1
2
NC
，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

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